190년 동안 수학계에서 ‘해결 불가능’한 것으로 여겨졌던 2계 미분방정식의 해법을 러시아의 한 수학자가 찾아내 화제가 되고 있다.
30일(현지시간) 베트남 매체 브이엔익스프레스(VnExpress) 보도에 따르면, 러시아 고등경제대학교(HSE)의 선임 연구원이자 러시아 과학 아카데미 수학 문제 및 정보 전송 연구소 소속인 이반 레미조프(Ivan Remizov) 박사가 최근 이와 같은 획기적인 연구 결과를 발표했다.
2계 미분방정식은 행성의 운동이나 진자의 움직임, 전력망의 신호 변화 등 시간에 따라 변화하는 물리적·경제적 과정을 설명하는 데 널리 사용되는 도구다. 하지만 1834년 프랑스 수학자 조제프 리우빌(Joseph Liouville)은 이 방정식의 해를 일반적인 계수나 기본 함수들의 조합으로는 표현할 수 없다는 것을 수학적으로 증명한 바 있다.
이후 수학계에서는 이 문제를 분석적으로 해결하는 것이 사실상 불가능하다고 판단해 왔으며, 약 190년 동안 관련 연구는 정체된 상태였다.
이반 레미조프 박사는 이 난제를 해결하기 위해 ‘체르노프 근사(Chernoff approximation)’ 이론을 도입했다. 그의 핵심 아이디어는 복잡하고 연속적인 변화 과정을 무수히 많은 작은 단계로 쪼개어 각각에 대한 근사치를 구하는 방식이다. 이 단계가 무한대에 가까워지면 각 근사치들이 합쳐져 실제 해와 일치하는 정확한 그래프를 형성하게 된다는 원리다.
또한 그는 라플라스 변환(Laplace transform) 기술을 적용해 복잡한 변화 문제를 일반 대수학적 계산으로 전환함으로써 결과가 정확하게 수렴한다는 사실을 입증했다. 수학계에서는 이를 ‘해결 함수(resolvent function)’라고 부르며, 기존의 표준 연산 외에 수열의 극한을 구하는 과정을 추가해 최종적인 해를 공식화하는 데 성공했다.
HSE 대학교와 러시아 타스(Tass) 통신은 이번 연구가 수학의 가장 오래된 분야 중 하나에 대한 이해를 완전히 바꾸어 놓았으며, 기초 물리학과 경제학 모델링 분야에서 큰 혁신을 가져올 것이라고 평가했다.
2018년 모스크바 국립대학교에서 박사 학위를 받은 레미조프 박사는 그간 연산자 반군(semigroups of operators)의 체르노프 근사 연구에 매진해 왔다. 이번 성과는 그가 지난해 동료 올레그 갈킨(Oleg Galkin)과 함께 얻어낸 수렴 속도 추정치 연구를 바탕으로 결실을 본 것으로 알려졌다.
현지 수학계 관계자는 “리우빌의 증명 이후 거의 포기 상태였던 분야에서 새로운 길을 제시한 놀라운 업적”이라며 “향후 복잡한 물리 시스템을 더 정밀하게 예측하는 데 기여할 것”이라고 전망했다.
